Олімпіадні задачі з математики (5-8 клас)

7 клас

 1. Якою цифрою закінчується сума 255+365+495?
 2. Довести, що серед 101 цілого числа можна вибрати два, різниця яких ділиться на 100.
 3. У школі 735 учнів. Довести, що хоча б троє з них в один і той же день святкують свій день народження.
 4. Мандрівнику потрібно здійснити шестиденну подорож по пустелі. Сам мандрівник і його носильник можуть взяти з собою кожний лише чотириденний запас їжі і води для однієї людини. Яку найменшу кількість носильників потрібно для цього переходу?
 5. Дано дві посудини по 10л з соляними розчинами 10% і 15% концентрації. Також є три порожні посудини 3л, 4л і 5л. Як за допомогою переливань отримати 1л 12% розчину?
 6. Дано півсклянки води і півсклянки молока. Три ложки води долили до молока, а потім три ложки суміші знову перелили в склянку з водою. Чого виявилось більше внаслідок цих переливань: води в молоці, чи молока у воді?
 7. Дано смужку 1×2003.

Двоє учнів грають у гру по черзі виконуючи ходи. За 1 хід треба закреслити одну довільну клітинку у смужці або деякі дві послідовні, де перша з них парна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє? Яка виграшна стратегія?
 8. Розв’язати рівняння: |х+5|+|х-4|=0.
 9. Поросята Ніф-Ніф та Нуф-Нуф бігли від вовка до хатинки Наф-Нафа. Вовку бігти до поросят, якби вони стояли на місці, 4 хвилини. Поросятам бігти до хатинки Наф-Нафа 6 хвилин. Вовк біжить вдвічі швидше за поросят. Чи встигнуть поросята добігти до хатинки Наф-Нафа.
10. При яких n число

складене?

11. Дано рівняння

де а – дійсне число. Визначити кількість розв’язків рівняння в залежності від параметра а.

12. Довести, що коли хуz=1, то

8 клас

1. Довести, що 20032002+8 не може бути квадратом будь-якого числа.
Знайти всі цілі значення а при яких дріб приймає цілі значення.
Обчислити: .
Додатні числа а, b, с такі, що . Довести, що.
Розв’язати рівняння в натуральних числах х+у+z=xyz.
Розв’язати рівняння: х2-4х+у2+6у+13=0.
Побудувати графік рівняння:.
Довести, що т3-n ділиться на 6, якщо n – ціле число.
Сума цифр тризначного числа дорівнює 7. Довести, що число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли рівні цифри його десятків і одиниць.
Розв’язати систему
На столі лежать три однакові ящики. В одному з них лежить дві чорні кульки, у другому – чорна і біла, у третьому – дві білі. На ящиках зроблено підписи: "Дві білі", "Дві чорні", "Чорна і біла". Відомо, що ні один із підписів не відповідає дійсності. Як, вийнявши тільки одну кульку, визначити, де лежать які кульки.
На дні озера б’ють з постійною потужністю джерела. Стадо з 12 слонів випиває озеро за 4 хвилини, а стадо з 9 слонів – за 6 хвилин. Певного дня до озера підійшло 6 слонів. За скільки хвилин вони вип’ють всю воду з цього озера? (Об’єм води в озері на початку водопою є завжди одним і тим же).
Побудувати трикутник найменшого периметра, якщо дано його основу і пряму, на якій лежить вершина.

 є складеним?

Джерело: http://shkola.ostriv.in.ua/publication/code-139C944DDF1F0