Доведення теореми Піфагора

Алгебраїчне доведення

1. Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — .
3. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

За подібністю трикутників

Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо

тоді

Це можна записати у вигляді

Якщо додати ці дві рівності, отримаєм

Іншими словами, Теорема Піфагора:

Доведення Евкліда

      В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C — вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Для формального доведення, нам необхідні чотири елементарні леми:

1. Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).
2. Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.
3. Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.
4. Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).

Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.^[6]

Перейдемо до доведення:

1. Нехай ACB — прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.
2. На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.^[7]
3. З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.
4. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.
5. Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.
6. Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
7. Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.
8. Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB²)
9. Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH = AC²
10. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC², або AB² + AC² = BC².

"Піфагорові штани" — жартівлива назва цього доказу.

Використовуючи диференціали

До теореми Піфагора можна прийти розглядом залежності величини гіпотенузи від приросту сторони (див. малюнок праворуч), застосувавши невелике обчислення.

В результаті приросту сторони a, з подібних трикутників для нескінченно малих приростів:

Застосуємо розділення змінних.

Інтегруючи, отримаємо:

Якщо a = 0 тоді c = b, отже «константа» — b². Тоді

Як можна побачити, квадрати отримано завдяки пропорції між приростами та сторонами, тоді як сума є результатом незалежного внеску приростів сторін, що не очевидно з геометричних доведень. В цих рівняннях da і dc — відповідно нескінченно малі прирости сторін a і c. Але замість них ми використовуємо Δa і Δc, тоді границя їхнього відношення, якщо вони прямують до нуля, дорівнює da/dc (похідній) і також дорівнює c/a (відношенню довжин сторін трикутників), в результаті чого отримуємо диференціальне рівняння.

Джерело: http://theoremp.blogspot.com/p/blog-page_54.htmlhttp://theoremp.blogspot.com/p/blog-page_54.html