Задача
Побудувати коло, дотичне до заданого кола і до заданої прямої у заданій
точці.
Пропонуємо учням скористатися засобами ППЗ GRAN 2D створення
зображень для побудови ескізу, що допомагатиме аналізувати умову задачі.
Мал.1
Для цього побудуємо два кола з центрами в точках O і S, що
дотикатимуться одне до одного, та проведемо дотичні до одного з них. Залишимо,
як вимагається в умові, одну дотичну та визначимо точку дотику, провівши
перпендикуляр до дотичної з центра S і
відмітивши точку перетину перпендикуляра та дотичної за допомогою натискання
відповідної кнопки з інструментальної панелі(мал..1) Нехай це буде точка М. Для відшукання способу розв’язання
задачі пропонуємо учням провести додаткові побудови. Маючи на ескізі центри
кіл, мимохідь виникає думка їх з’єднати. Пряма, що визначається точками О та S, проходить через точку дотику кіл – точку Р (учні пояснюються чому це саме так).
Зрозуміло, що центр шуканого кола має лежати на перпендикулярі, проведеної
до дотичної з точки М (учні пояснюють
і це). Залишається знайти шлях побудови
центра кола.
На цьому етапі розв’язування вчитель пропонує учням провести
експериментальні побудови, які можуть знадобитися для знаходження положення
допоміжної точки Р – точки дотику
кіл. Вдалі спроби учнів вимагається коментувати. І скеровані вчителем спроби
розв’язання цієї проміжної проблеми швидко допомагати учням знайти метод
побудови точки Р.
Як правило, в подібних випадках спрацьовує підказка про те, що для
визначення невідомих елементів їх слід включати до якихось геометричних фігур,
наприклад до трикутників.
Очевидно, що складність та ефективність методу знаходження невідомого
елемента залежатиме від того, чи раціонально знайдено фігури, до якої його
включено. Як правило, чим тривіальніше фігури, що використовуються при
розв’язуванні, тим простіший і раціональніший метод розв’язування задачі.[35]
Три точки на колі з центром у точці S можуть визначати трикутник. Проте на колі з центром в
точці О визначено поки лише дві
точки, слід знайти шлях побудови третьої потрібної точки.
Очікуються пропозиції з експериментальним підтвердженням учнів. Правильна
відповідь може бути схожа на таку: «Оскільки точка М належить колу з центром у точці О, то й шукана належатиме колу з центром у точці О відповідно. Її положення можна
визначити за допомогою точки Р, адже
вона належить обом колам. А чи не спробувати з’єднати точки Р і М?»
Учитель пропонує провести на ескізі пряму РМ, завдяки чому
утворився трикутник РОА. Учні
проводять пряму ОА та аналізують,
якою вона виявилась. І щоб довести, що вона паралельна прямій SM, розглядають
трикутник MSP і АОР. З рівнобедреності цих трикутників,
з рівності вертикальних кутів при вершині P та з ознаки паралельності прямих учні виводять, що AO ║ MS і що AO перпендикулярна до заданої за умовою задачі дотичної.
Таким чином, визначимо положення точки А
– вона є точкою перетину кола та перпендикуляра, опущеного з центра кола О на задану дотичну. Точка Р лежатиме на прямій МА, а центр шуканого кола – точка
перетину прямої ОР і перпендикуляра,
встановленого з точки М до заданої
дотичної.
На етапі дослідження задачі ключовим моментом повинен стати факт перетину
заданого за умовою кола прямою, перпендикулярною до заданої дотичної, в точках А і В.
Вчитель пропонує учням експериментально дослідити, чим є точка перетину кола та
січної, що проходить через точку В.
Так, під час експериментальних досліджень створеного власноручно ескізу
учні виявляють положення центра іншого шуканого кола(мал..2).
Мал..2
Провівши відповідний аналіз другого розв’язку задачі, учні покроково
виконують потрібні побудови в програмному середовищі GRAN 2D
(мал..2) записують виконання дій на зовнішній носій та фіксують у зошиті план
здійснення побудов(мал..3)
Мал..3
Проводячи аналогічні експериментальні побудови під час розв’язання подібних
задач, учні мають змогу самостійно дізнатися, скільки саме розв’язків має
задача та в яких випадках не має жодного.
Немає коментарів:
Дописати коментар